Ma trận nghịch đảo là gì

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được call là ma trận đơn vị nếu như A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là sống thọ. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, đưa sử gồm nhì ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị cần I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong những ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ trường thọ một ma trận B vuông cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc đó, B được hotline là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.Quý Khách đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là tốt nhất, bởi vì đưa sử mãi mãi ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện giờ, có rất nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cập đến định nghĩa khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.

You watching: Ma trận nghịch đảo là gì

Thật vậy, cho A là ma trận cấp cho m x n trên ngôi trường số K. Lúc kia, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ mãi mãi ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như trường tồn ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, tất nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập đúng theo những ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch bởi với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta số đông có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hàng hãy thừ chứng tỏ tác dụng bên trên nhé)

3. Mối dục tình giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2) được Hotline là ma trận sơ cấp dòng (cột) ví như E thu được trường đoản cú ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho dòng hay cột hotline tầm thường là ma trận sơ cấp.

See more: Tín Hiệu Chàng Để Ý Bạn, Cách Nhận Biết Nhanh Nhất, 17 Dấu Hiệu Đàn Ông Để Ý Bạn Dù Chưa Dám Nói Ra

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp mẫu (hay cột) những khả nghịch và nghịch hòn đảo của này lại là 1 trong những ma trận sơ cung cấp loại.

Ta có thể bình chọn thẳng kết quả bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). lúc đó, những xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In cảm nhận từ bỏ A bởi một vài hữu hạn những phxay đổi khác sơ cung cấp dòng (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý Khách đọc hoàn toàn có thể coi minh chứng định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Khi kia, những xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ lúc dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A do một trong những hữu hạn các phnghiền đổi khác sơ cấp dòng (cột); đồng thời, thiết yếu dãy những phép biến đổi sơ cung cấp loại (cột) đó sẽ vươn lên là In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phxay biến đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán thù Gausβ – Jordan để tìm kiếm nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật tân oán này được xây đắp nhờ vào tác dụng thứ hai của hệ quả 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n sản phẩm, 2n cột bằng cách ghxay thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên cần ma trận A


Lập ma trận chi khối hận cấp cho n x 2n

Bước 2: Dùng những phxay thay đổi sơ cấp cho dòng để đưa về dạng , trong số ấy A’ là 1 trong ma trận lan can chính tắc.

See more: Microsoft Software Protection Platform Service Là Gì, Cách Khắc Phục Dịch Vụ

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi trường hợp A’ xuất hiện ít nhất 1 loại ko thì nhanh chóng Tóm lại A ko khả nghịch (không nhất thiết phải chuyển A’ về dạng bao gồm tắc) cùng hoàn thành thuật toán thù.

lấy ví dụ minch họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch đảo của: